2024年阿里巴巴全球数学竞赛决赛分析赛道T4
Problem 4. 定义序列
$$a_{n+1}=a_{n}+\frac{ {a_{n}}^{2} }{n^{2}}. 0\leq a_{1}<1. $$
证明极限 $\lim\limits_{n\to +\infty}a_{n}$ 存在并且有限.
$$(n+1)-a_{n+1}=(n-a_{n})(1+\frac{a_{n}+n}{n^{2}})$$
先证不存在 $\lambda\geq 1$, 使得 $\exists N_{0}\in\mathbb{N}, k>0$ 满足 $\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}\geq k$ 对 $\forall n\in\mathbb{N}, n>N_{0}$ 恒成立
若存在， 则 $\lambda=1$ 时一定符合要求
下证 $\lambda=1$ 时不成立
对 $n>N_{0}$
$$1+\frac{a_{n}+n}{n^{2}}\geq\frac{n^{2}+n+k(n+1)}{n^2}=\frac{(n+1)(n+k)}{n^2}$$
$$\begin{equation}\begin{split}(n+1)-a_{n+1}&=((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\prod\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(1+\frac{a_{i}+i}{i^{2}})\\& \geq((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\prod\limits_{i=N_{0}+1}^{n}\frac{(i+1)(i+k)}{i^2}\\& =((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}\prod\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(1+\frac{k}{i})\\& >((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}(1+k\sum\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(\frac{1}{i}))\\& >((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}(1+k\sum\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(\ln(\frac{i+1}{i})))\\& =((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}(1+k\ln(\frac{n+1}{N_{0}+1}))\end{split}\end{equation}$$
当 $n$ 充分大时, $((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}(1+k\ln(\frac{n+1}{N_{0}+1}))>n+1$, 即 $(n+1)-a_{n+1}>(n+1)$, 矛盾.
由此知, 对 $\forall N_{0}\in\mathbb{N}, k>0$, $\exists n>N_{0}$, 使得 $\frac{a_{n}}{n+1}<k$ 成立
再证不存在 $1>\lambda>0$, 使得 $\exists N_{0}\in\mathbb{N}, k>0$ 满足 $\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}\geq k$ 对 $\forall n\in\mathbb{N}, n>N_{0}$ 恒成立
若存在, 则有
$$1+\frac{a_{n}+n}{n^{2}}\geq\frac{n^{2}+n+k(n+1)^{\lambda}}{n^2}=\frac{(n+1)(n+\frac{k}{(n+1)^{1-\lambda}})}{n^2}$$
$$\begin{equation}\begin{split}(n+1)-a_{n+1}&=((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\prod\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(1+\frac{a_{i}+i}{i^{2}})\\& \geq((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\prod\limits_{i=N_{0}+1}^{n}\frac{(i+1)(i+\frac{k}{(i+1)^{1-\lambda}})}{i^2}\\& =((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}\prod\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(1+\frac{k}{i(i+1)^{1-\lambda}})\\& >((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}(1+k\sum\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(\frac{1}{i(i+1)^{1-\lambda}}))\\& >((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}(1+\frac{k}{1-\lambda}\sum\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(\frac{1}{i^{1-\lambda}}-\frac{1}{(i+1)^{1-\lambda}}))\\& =((N_{0}+1)-a_{N_{0}+1})\frac{n+1}{N_{0}+1}(1+\frac{k}{1-\lambda}(\frac{1}{(N_{0}+1)^{1-\lambda}}-\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}}))\end{split}\end{equation}$$
仿照上面, 尝试构造使得
$$(1-\frac{a_{N_{0}+1}}{N_{0}+1})(1+\frac{k}{1-\lambda}(\frac{1}{(N_{0}+1)^{1-\lambda}}-\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}}))\geq 1$$
即
$$\frac{\frac{k}{1-\lambda}(\frac{1}{(N_{0}+1)^{1-\lambda}}-\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}})}{1+\frac{k}{1-\lambda}(\frac{1}{(N_{0}+1)^{1-\lambda}}-\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}})}\geq\frac{a_{N_{0}+1}}{N_{0}+1}$$
设 $t=N_{0}+1, \epsilon=\frac{a_{N_{0}+1}}{k(N_{0}+1)}-(\frac{1}{(N_{0}+1)^{1-\lambda}}-\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}})=\frac{a_{N_{0}+1}}{mk(N_{0}+1)}$
化简得
$$m\geq\frac{1-\frac{a_{t}}{t}}{\lambda-\frac{a_{t}}{t}}$$
即
$$\epsilon\leq\frac{\lambda-\frac{a_{t}}{t}}{1-\frac{a_{t}}{t}}\frac{a_{t}}{kt}$$
又因为 $\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}}$ 可以充分小, 故只需 $k>\frac{a_{t}(1-\lambda)}{t^{\lambda}(1-\frac{a_{t}}{t})}$ 即可
$$\frac{\frac{a_{t}(1-\lambda)}{t^{\lambda}(1-\frac{a_{t}}{t})}}{\frac{a_{t}}{(t+1)^{\lambda}}}=\frac{(1-\lambda)(t+1)^{\lambda}}{(1-\frac{a_{t}}{t})t^{\lambda}}<\frac{(1-\lambda)(t+1)}{(1-\frac{a_{t}}{t})t}$$
当 $\frac{a_{t}}{t}<\lambda^{2}$ 且 $t>\frac{1}{\lambda}$ 时 $\frac{(1-\lambda)(t+1)}{(1-\frac{a_{t}}{t})t}<1$
又由对 $\forall N_{0}\in\mathbb{N}, k>0$, $\exists n>N_{0}$, 使得 $\frac{a_{n}}{n+1}<k$ 成立
知 $\forall N_{0}\in\mathbb{N}, k>0$, $\exists n>N_{0}$, 使得 $\frac{a_{n}}{n}<k$ 成立
知 $\forall N_{0}\in\mathbb{N}$, $\exists t>N_{0}$, 使得 $\frac{\frac{a_{t}(1-\lambda)}{t^{\lambda}(1-\frac{a_{t}}{t})}}{\frac{a_{t}}{(t+1)^{\lambda}}}=\frac{(1-\lambda)(t+1)^{\lambda}}{(1-\frac{a_{t}}{t})t^{\lambda}}<\frac{(1-\lambda)(t+1)}{(1-\frac{a_{t}}{t})t}<1$ 成立
接下来, 我们对数列${\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}}$进行考察
$$\frac{a_{n+1}}{((n+1)+1)^{\lambda}}<\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}<\frac{n^{2}((n+2)^{\lambda}-(n+1)^{\lambda})}{(n+1)^{2\lambda}}$$
又
$$\frac{n^{2}((n+2)^{\lambda}-(n+1)^{\lambda})}{(n+1)^{2\lambda}}<\frac{(n+1)^{2}(((n+1)+2)^{\lambda}-((n+1)+1)^{\lambda})}{((n+1)+1)^{2\lambda}}$$
若
$$\frac{a_{n+1}}{((n+1)+1)^{\lambda}}<\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}$$
则
$$\frac{a_{n+1}}{((n+1)+1)^{\lambda}}<\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}<\frac{n^{2}((n+2)^{\lambda}-(n+1)^{\lambda})}{(n+1)^{2\lambda}}<\frac{(n+1)^{2}(((n+1)+2)^{\lambda}-((n+1)+1)^{\lambda})}{((n+1)+1)^{2\lambda}}$$
即
$$\frac{a_{(n+1)+1}}{(((n+1)+1)+1)^{\lambda}}<\frac{a_{(n+1)}}{((n+1)+1)^{\lambda}}$$
故数列${\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}}$为 递增数列 或 先递增后递减数列 或 递减数列
若 $\exists N_{0}\in\mathbb{N}$ 使得 $\forall n\in\mathbb{N}, n>N_{0}$ 均有 $\frac{a_{n+1}}{((n+1)+1)^{\lambda}}<\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}$ 成立
则知极限 $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}$ 存在并且大于$0$
设$k_{max}=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}$
显然 $k=k_{max}$ 符合定义
因此对 $\forall\sigma>0$, $\exists t_{0}\in\mathbb{N}, t_{0}>N_{0}$ 使得 $\forall t>t_{0}$ 时有 $\frac{a_{t}}{(t+1)^{\lambda}}<(1+\sigma)k_{max}$
又由 $\frac{\frac{a_{t}(1-\lambda)}{t^{\lambda}(1-\frac{a_{t}}{t})}}{\frac{a_{t}}{(t+1)^{\lambda}}}=\frac{(1-\lambda)(t+1)^{\lambda}}{(1-\frac{a_{t}}{t})t^{\lambda}}<\frac{(1-\lambda)(t+1)}{(1-\frac{a_{t}}{t})t}$
知
存在无穷个 $t$ 使得 $k_{max}>\frac{a_{t}(1-\lambda)}{t^{\lambda}(1-\frac{a_{t}}{t})}$ 成立
取$k=k_{max}$, 符合条件的$t$, $N_{0}=t-1$, 此时有
$$(1-\frac{a_{N_{0}+1}}{N_{0}+1})(1+\frac{k}{1-\lambda}(\frac{1}{(N_{0}+1)^{1-\lambda}}-\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}}))\geq 1$$
对任意充分大的 $n$ 成立, 矛盾
若数列${\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}}$为递增数列
取 $k_{max}=\frac{a_{t}}{(t+1)^{\lambda}}$ 即可, 同理存在无穷个 $t$ 使得 $k_{max}>\frac{a_{t}(1-\lambda)}{t^{\lambda}(1-\frac{a_{t}}{t})}$ 成立
取$k=k_{max}$, 符合条件的$t$, $N_{0}=t-1$, 此时有
$$(1-\frac{a_{N_{0}+1}}{N_{0}+1})(1+\frac{k}{1-\lambda}(\frac{1}{(N_{0}+1)^{1-\lambda}}-\frac{1}{(n+1)^{1-\lambda}}))\geq 1$$
对任意充分大的 $n$ 成立, 矛盾
得证!
综上对 $\forall\lambda>0, k>0$, $\exists N_{0}\in\mathbb{N}$ 使得对 $\forall n\in\mathbb{N}, n>N_{0}$ 均有 $\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}<k$ 成立
(从 "$\forall\lambda>0, k>0$, $\exists n\in\mathbb{N}$ 有 $\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}<k$ 成立" 到 "$\forall\lambda>0, k>0$, $\exists N_{0}\in\mathbb{N}$ 使得对 $\forall n\in\mathbb{N}, n>N_{0}$ 均有 $\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}<k$ 成立" 可能有点绕(提示: 仿照上面证明中最后一步讨论), 但是无所谓, 我们可以使用一个更弱的结论, $\forall\lambda>0$, $\exists N_{0}\in\mathbb{N}, k>0$ 使得对 $\forall n\in\mathbb{N}, n>N_{0}$ 均有 $\frac{a_{n}}{(n+1)^{\lambda}}<k$ 成立)
$$a_{n+1}=a_{N_{0}+1}+\sum\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(\frac{a_{i}}{i^{2}})<a_{N_{0}+1}+\sum\limits_{i=N_{0}+1}^{n}(\frac{k^2(i+1)^{2\lambda}}{i^{2}})$$
取 $0<\lambda<\frac{1}{2}$ 则原题显然
$$Q.E.D.$$