湖南省2023届高三九校联盟第二次联考数学T22

Posted on 1686281565000

$22. (本小题满分 12 分)$

$已知f(x)=\frac{1}{2}x^2-x-a\ln(x-a), a\in R$

$(1)判断函数f(x)的单调性; $

$(2)若 x_1, x_2是函数 g(x)=f(x+a)-a(x+\frac{1}{2}a)的两个极值点, 且 x_1< x_2, 求证: 0 < f (x_1)-f(x_2) < \frac{1}{2}. $

(1)

自己做

(2)

$f(x)=\frac{1}{2}x^2-x-a\ln(x-a)$

$g(x)=\frac{1}{2}x^2-x-a\ln(x)$

$f’(x)=\frac{x(x-(a+1))}{x-a}$

$g’(x)=\frac{(x-\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2})}{x}$

此题中$x_1$与$x_2$均为$g(x)$极值点, 但是最后需证的不等式中却没有$g(x)$的身影, 出题人不会就只是想考一下我们多项式化简吧(或者还有韦达), 不会吧不会吧

题目改为$0 < f (\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2})-f(\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}) < \frac{1}{2}$不是更好?

这个不等式就非常好, 显然告诉我们不可能通过展开计算, 当然不在考场上的你可以试试

中间的看不出眉目, 不妨看向两边

$0, \frac{1}{2}$都是常数

这意味着原不等式其实非常松, 我们可以大胆放缩

怎么放?

$0 < f (\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2})-f(\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}) < \frac{1}{2}$这个式子为什么恶心

恶心在其中的$\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}$, 这不得给它整掉?

来小亮给他整个活

还记得(1)问中$f(x)$有一个单调递减区间$(0, a + 1)$吗?

再回到(2)问, $x_1< x_2, 求证: 0 < f(x_1)-f(x_2)$

看不明白? 移一下项$x_1< x_2, 求证: f(x_1) < f(x_2)$

等一下, 如果, 我是说如果啊, 如果$x_1,x_2\in(0,a+1)$, 这个式子是不是显然成立

然后你真的发现$\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}\in(0,a+1)$

那剩下什么, 放啊!

$f(x_1)<f(0), f(x_2)>f(a+1)\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)<f(0)-f(a+1)$(其实更紧一点的是$f(x_1)<f(-a), f(x_2)>f(a+1)\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)<f(-a)-f(a+1)$但本题均够用)

我们只需证$f(0)-f(a+1)<\frac{1}{2}$即可

自己写吧

总结, 本题实际上观察不等式中间与两边复杂度的不对等性可以很明确的给出思路